Το πιο αξιοσημείωτο και επαναστατικό γεγονός στα μαθηματικά στο τέλος του 18ου και στις αρχές του 19ου αιώνα ήταν η ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Η αντιπαράθεση που τελικά οδήγησε στην ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών ξεκίνησε απο τις προσπάθειες των μαθηματικών να αποδείξουν το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη ή απλούστερα Αξίωμα των παραλλήλων: Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνη τη πλευρά όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες. Το αξίωμα αυτό του Ευκλείδη, είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του Πλέιφερ, που δηλώνει ότι, σε ένα επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία ε και σημείο A, εκτός της ε, υπάρχει ακριβώς μια ευθεία διερχόμενη από το A που δεν τέμνει την ε.
Στην αρχή του 19ου αιώνα έγιναν αποφασιστικά βήματα για τη δημιουργία της μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Γύρω στο 1813, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους και το 1818, ο Γερμανός καθηγητής της Νομικής Φέρντιναντ Καρλ Σβάικαρτ είχαν τις πρωτογενείς ιδέες της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά κανένας από τους δύο δεν δημοσίευσε κανένα αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, γύρω στο 1830, ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπολιάι και ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι δημοσιεύουν χωριστά τις ανακαλύψεις τους σχετικά με την μη ευκλείδεια γεωμετρία. Έτσι η υπερβολική γεωμετρία θα ονομαστεί Bolyai-Lobachevskian γεωμετρία, ενώ οι δύο μαθηματικοί, ανεξάρτητα μεταξύ τους, γίνονται οι βασικοί συντάκτες της μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Σύμφωνα με την νέα αυτή γεωμετρία (Υπερβολική Γεωμετρία), από ένα σημείο εκτός δοθείσης ευθείας άγονται τουλάχιστον δυο διαφορετικές παράλληλες προς την δοθείσα ευθεία. Και σαν να μην έφτανε αυτό, το 1854, εμφανίζεται Μπέρναρντ Ρίμαν για να προτείνει μια ακόμη διαφορετική γεωμετρία (Σφαιρική Γεωμετρία) στην οποία δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες! Όλες οι ευθείες τέμνονται ανά δυο σε δυο σημεία. Παρότι η Υπερβολική και η Σφαιρική Γεωμετρία έρχονταν σε αντίθεση με την ανθρώπινη διαίσθηση, φαίνονταν να είναι εξίσου συνεπείς με την Ευκλείδειο Γεωμετρία.
Για περισσότερο από δυο χιλιάδες χρόνια κυριαρχούσε η αίσθηση ότι η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν απαραίτητα η γεωμετρία του χώρου. Οι νέες γεωμετρίες έδειξαν ότι υπάρχουν και άλλες περιγραφές του χώρου προσιτές στην ανθρώπινη νόηση. Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες ήταν μια παραδειγματική στροφή στην ιστορία της επιστήμης. Η ανακάλυψη τους είχε πολλαπλασιαστικές επιπτώσεις που πήγαν πολύ πέρα από τα όρια των μαθηματικών και της επιστήμης. Ήταν το χαρακτηριστικό παράδειγμα της σύνθεσης πριν από τη γνώση, δεν προέρχονταν από τις αισθήσεις μας, ούτε προκύπταν από την λογική.
Περισσότερα: Βικιπαίδεια, η ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια