Οι Αρχαίοι Έλληνες είχανε δείξει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις γεωμετρικές κατασκευές και ιδιαιτέρως για εκείνες στις οποίες η κατασκευή τους απαιτεί να γίνει χρήση μόνο του κανόνα (αβαθμολόγητου χάρακα) και του διαβήτη. Υπήρξαν όμως κατασκευές όπου ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν με την χρήση μόνο αυτών των δύο οργάνων, δηλαδή με την βοήθεια κύκλων και ευθειών. Βέβαια έλυσαν όλα αυτά τα προβλήματα χωρίς όμως τον περιορισμό η κατασκευή να γίνει με χάρακα και διαβήτη, δηλαδή εκτός από ευθείες και κύκλους στη λύση χρησιμοποίησαν και άλλες καμπύλες. Από τότε που τέθηκαν τα προβλήματα πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι δεν λύνονται μόνο με χάρακα και διαβήτη. Οι αποδείξεις στηρίχτηκαν στην ανάπτυξη της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Άλγεβρας.
Τα προβλήματα αυτά είναι:
1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου: 
Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ένα από τα διασημότερα μαθηματικά προβλήματα. Ένα μεγάλο πλήθος μαθηματικών, από την αρχαιότητα μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο.
2. Η τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας: 
Ζητείται να διαιρεθεί γωνία σε τρία ίσα μέρη, δηλαδή να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη γωνία ίση με το 1/3 γωνίας που δίνεται. Και σε αυτό το πρόβλημα δόθηκαν πολλές λύσεις από διάφορους μαθηματικούς που χρησιμοποιούσαν πάντοτε και άλλες καμπύλες εκτός από ευθείες και και κύκλους. Συνυφασμένες με τη λύση του προβλήματος της τριχοτόμησης γωνίας είναι η εισαγωγή με κινηματικό ορισμό μιας νέας καμπύλης από τον Ιππία τον 5ο αι. π. Χ., της τετραγωνίζουσας και η εφαρμογή μέσω κίνησης από τον Αρχιμήδη της μεθόδου της νεύσης. Πολλοί άλλοι μετά από τον Ιππία και τον Αρχιμήδη ακολούθησαν, όπως οι Νικομήδης, Πάππος, Leonardo da Vinci, κ.α. γεγονός που ενισχύει την άποψη ότι το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας προσέλκυσε το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών και συνέβαλλε στην πρόοδο της επιστήμης των μαθηματικών.
3. Ο διπλασιασμός του κύβου: Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό και σαν Δήλιο πρόβλημα, από τον χρησμό που δόθηκε στους κατοίκους της Δήλου ότι οι ταλαιπωρίες τους θα σταματούσαν αν διπλασίαζαν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα που βρισκόταν στη Δήλο. Το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου είναι ουσιαστικά η κατασκευή της κυβικής ρίζας του 2. Ο πρώτος που είχε ουσιαστική συμβολή στη λύση του διπλασιασμού του κύβου ήταν ο Ιπποκράτης ο Χίος το 430 π.Χ. περίπου, μετασχημάτισε το πρόβλημα, στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων σε δύο δοθέντα μεγέθη. Όλοι οι μαθηματικοί που έδωσαν λύσεις στηρίχτηκαν στην παρατήρηση του Ιπποκράτη.
